2010년03월07일 78번

[사회통계]
확률변수 X 와 Y 가 독립일 때 다음 중 틀린 것은?

① E(XY) = E(X)E(Y)
② COV(X,Y) = 0
③ V(X+Y) = V(X) + V(Y)
④ V(X-Y) = V(Y) - V(X)

(정답률: 36%)

문제 해설

정답은 "V(X+Y) = V(X) + V(Y)" 이다.

확률변수 X와 Y가 독립이면 COV(X,Y) = 0 이 성립한다. 또한, E(XY) = E(X)E(Y) 이므로 V(XY) = E(X^2Y^2) - [E(XY)]^2 = E(X^2)E(Y^2) - [E(X)E(Y)]^2 = [V(X) + E(X)^2][V(Y) + E(Y)^2] - [E(X)E(Y)]^2 = V(X)V(Y) + E(X)^2V(Y) + E(Y)^2V(X) + E(X)^2E(Y)^2 - E(X)^2E(Y)^2 - 2E(X)E(Y)E(X)E(Y) = V(X)V(Y) - 2E(X)E(Y)[E(X)E(Y)] + E(X)^2V(Y) + E(Y)^2V(X) = V(X)V(Y) - [E(X)E(Y)]^2 이다.

따라서, V(X-Y) = V(X) + V(-Y) - 2COV(X,-Y) = V(X) + V(Y) - 2COV(X,Y) = V(X) + V(Y) 이므로 "V(X-Y) = V(Y) - V(X)" 이 성립한다.

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